Question

【題目】如圖，AB是O的直徑，AB＝4，C為的三等分點（更靠近A點），點P是O上一個動點，取弦AP的中點D，則線段CD的最大值為（ ）

A.2B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

取OA的中點Q，連接DQ，OD，CQ，根據條件可求得CQ長，再由垂徑定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求得QD長，根據當C,Q,D三點共線時，CD長最大求解.

解：如圖，取AO的中點Q,連接CQ，QD，OD，

∵C為的三等分點，

∴的度數為60°，

∴∠AOC=60°,

∵OA=OC,

∴△AOC為等邊三角形，

∵Q為OA的中點，

∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°,

∴OQ= ,

由勾股定理可得，CQ= ,

∵D為AP的中點,

∴OD⊥AP，

∵Q為OA的中點，

∴DQ= ,

∴當D點CQ的延長線上時，即點C,Q,D三點共線時，CD長最大，最大值為 .

故選D