Question

【題目】平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放，分別延長DA和QP交于點O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點O按逆時針方向開始旋轉，設旋轉角為α（0°≤α≤60°）．

發現：如圖2，當點P恰好落在BC邊上時，求a的值即陰影部分的面積；

拓展：如圖3，當線段OQ與CB邊交于點M，與BA邊交于點N時，設BM=x（x＞0），用含x的代數式表示BN的長，并求x的取值范圍．

探究：當半圓K與矩形ABCD的邊相切時，直接寫出sinα的值．

Answer 1

【答案】發現：α=30°，S陰影=+；

拓展： BN=，0＜x≤2﹣1；

探究： sinα的值為：或或．

【解析】

試題分析：首先設半圓K與PC交點為R，連接RK，過點P作PH⊥AD于點H，過點R作RE⊥KQ于點E，則可求得∠RKQ的度數，于是求得答案；

拓展：如圖5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN，即可求得BN，如圖4，當點Q落在BC上時，x取最大值，作QF⊥AD于點F，BQ=AF，則可求出x的取值范圍；

探究：半圓K與矩形ABCD的邊相切，分三種情況：①半圓K與BC相切于點T，②當半圓K與AD相切于T，③當半圓K與CD切線時，點Q與點D重合，且為切點；分別求解即可求得答案．

解：發現：如圖2，設半圓K與PC交點為R，連接RK，過點P作PH⊥AD于點H，

過點R作RE⊥KQ于點E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，

∴∠POH=30°，

∴α=60°﹣30°=30°，

∵AD∥BC，

∴∠RPO=∠POH=30°，

∴∠RKQ=2×30°=60°，

∴S扇形KRQ==，

在Rt△RKE中，RE=RKsin60°=，

∴S△PRK=RE=，

∴S陰影=+；

拓展：如圖5，

∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，

∴△AON∽△BMN，

∴，即，

∴BN=，

如圖4，當點Q落在BC上時，x取最大值，作QF⊥AD于點F，BQ=AF=﹣AO=2﹣1，

∴x的取值范圍是0＜x≤2﹣1；

探究：半圓K與矩形ABCD的邊相切，分三種情況；

①如圖5，半圓K與BC相切于點T，設直線KT與AD，OQ的初始位置所在的直線分別交于點S，O′，

則∠KSO=∠KTB=90°，

作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，

OS==2，

在Rt△OSO′中，SO′=OStan60°=2，KO′=2﹣，

在Rt△KGO′中，∠O′=30°，

∴KG=KO′=﹣，

∴在Rt△OGK中，sinα===，

②當半圓K與AD相切于T，如圖6，同理可得sinα====；

③當半圓K與CD切線時，點Q與點D重合，且為切點，

∴α=60°，

∴sinα=sin60°=；

綜上所述sinα的值為：或或．