Question

5位數n，滿足以下4個條件：
（1）n是回文數（數字逆排仍等于自身的正整數稱為回文數，例如33，252，10601）；
（2）n是完全平方數；
（3）n的各位數字之和k也是完全平方數；
（4）k是2位數，k的2位數字之和r也是完全平方數．那么，n=

69696

．

Answer 1

分析：首先通過以k也是完全平方數且是2位數，k的2位數字之和r也是完全平方數，且有隱含條件k≤9×5=45，確定k的值．進而根據k的2位數字之和r也是完全平方數，進一步縮小確定a+b的取值．再根據n是完全平方數驗證正確的5位數n．

解答：解：首先，n是5位數，n的各位數字和k≤45，k是2位數，k又是完全平方數，只可能k=16、25或36；
但k的2位數字和r也是完全平方數，唯有k=36，r=9
∵n是5位數，n的各位數字和k≤45，k是2位數，k又是完全平方數，
∴只可能是k=16、25或36；
又∵k的2位數字和r也是完全平方數，
∴只能是k=36，r=9
故設n=abcda，則有36=a+b+c+b+a?36=2a+2b+c（其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9），
∴36≥2（a+b）=36-c≥27，
∴18≥a+b≥14，
又∵n是完全平方數，
∴只可能ba=89，69或98；相應的c=2，6，6，
檢查89289，69696和966669，發現唯有n=69696滿足所有條件．（注：69696=264²）
故答案為69696．

點評：本題考查完全平方數．做為競賽題目一點不為過，考查學生的發散思維能力；解決本題以k也是完全平方數且是2位數，k的2位數字之和r也是完全平方數，且有隱含條件k≤9×5=45做為本題的突破口．