Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，等邊的邊在軸正半軸上，點，，點、分別從、出發以相同的速度向、運動，連接、交于點，是軸上一點，則的最小值為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

先證明，即可得出∠AFB=120°，即可判斷出點F的軌跡是以O’為圓心的圓上的一段�。�劣弧AB），然后確定出圓心O’的位置及其坐標，即可確定點M和點F的位置，使FM的長度最小.

如圖，∵是等邊三角形，

∴∠AOB=∠ABD=60°，OB=AB，

∵點、分別從、出發以相同的速度向、運動，

∴BD=OE，

在OBE和DAB中，

∵

∴，

∴∠OBE=∠BAD，

∴∠ABE+∠BAD= ∠ABE+∠OBE=∠ABO=60°，

∴∠AFB=180°-(∠ABE+∠BAD)=120°，

∴點F是經過點A，B，F的圓上的點，記圓心為O’，在圓O’上取一點N，使

點N和點F在弦AB的兩側，連接AN，BN，

∴∠ANB=180°-∠AFB=60°，

連接O’A，O’B，

∴∠AO’B=2∠ANB=120°，

∵O’A=O’B，

∴∠ABO’=∠BAO’，

∴∠ABO’=(180°-∠AO’B)=(180°-120°)=30°，

∵∠ABO=60°，

∴∠OBO’=90°，

∵是等邊三角形，，

∴AB=OB=2×3=6，a=，

過點O’作O’G⊥AB，

∴BG=AB=3，

在RtBO’G中，∠ABO’=30°，BG=3，

∴O’B=，

∴O’(6，)，

∵的最小值= O’M最小值- O’F，

∴過點O’作O’M⊥y軸，垂足為M，則四邊形O’MOB是矩形，此時，O’M長度最小，最小值為6，O’M與圓O’的交點，即為點F的位置，

∵O’F=O’B=，

∴的最小值= O’M最小值- O’F=6-.

故答案是：.