Question

【題目】如圖，在中，．點從點出發，沿方向以每秒個單位長度的速度向終點運動（點不與重合），過點作交折線于點以為邊問下作正方形點落在邊上設點運動的時間為（秒）．

（1）直接用含的代數式表示線段的長．

（2）當點落在邊上時，求的值．

（3）當正方形與重疊部分圖形為四邊形時，設四邊形的面積為（平方單位），求與之間的函數關系式．

（4）點為邊的中點，直接寫出直線將正方形分成的兩部分圖形的面積比為時的值．

Answer 1

【答案】（1）當時，．當時，；（2）；（3）當時．；當時．；（4）或

【解析】

（1）需分點Q在AB上和BC上兩種情況，結合銳角三角函數即可求得對應的AP的長；

（2）表示出AP，PN，NC，用AB=AP+PN+NC，即可求出；

（3）由（2）知，需分為或兩部分討論；

（4）由PF分正方形面積為1:2的兩部分，得出比例關系，使用平行線分線段成比例，計算結果．

（1）作，垂足為D

∵，BC=4，AB=3，

∴AC=5

∵

∴

∴

∴

點Q在AB上時，如圖所示

在中，BC=4，AB=3，，

在中，，則（）

當點Q在BC上時，如圖所示：

在中，BC=4，AB=3，，

在中，，則（）

綜上：當時，．當時，

（不寫取值范圍不扣分）

（2）當點落在邊上時，如圖所示

由（1）知，，

在中，

∴AB=AP+PN+NC=解得

（3）由（2）知，正方形與重疊部分圖形為四邊形時

的取值范圍是：或

當時．此時重合部分為正方形PQMN整體，則

當時．如圖所示：

∴，

在中，

∴

（4）當時，如圖所示：

此時

直線PF將正方形PQMN分成1:2的兩部分，即

∴即，

∴

在中，，

∴

作，垂足為H，

則

又

∴

∴，解得

當時，如圖所示：

同上可知：

由，得

又

∴，即

又F為BC中點

∴即

∴，解得

綜上：或．