Question

【題目】市化工材料經銷公司購進一種化工原料若干千克，價格為每千克30元．物價部門規定其銷售單價不高于每千克60元，不低于每千克30元．經市場調查發現：日銷售量y（千克）是銷售單價x（元）的一次函數，且當x＝45時，y＝10；x＝55時，y＝90．在銷售過程中，每天還要支付其他費用500元．

（1）求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）求該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；

（3）當銷售單價為多少元時，該公司日獲利最大？最大獲利是多少元？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）W＝﹣2x2+260x﹣6500；（3）當銷售單價為60元時，該公司日獲利最大為1900元．

【解析】

（1）根據y與x成一次函數解析式，設為y＝kx+b，把x與y的兩對值代入求出k與b的值，即可確定出y與x的解析式，并求出x的范圍即可；

（2）根據利潤＝單個利潤×銷售量-500列出W關于x的二次函數解析式即可；

（3）利用二次函數的性質求出W的最大值，以及此時x的值即可．

（1）設y＝kx+b，

∵x＝45時，y＝10；x＝55時，y＝90，

∴，

解得：k＝﹣2，b＝200，

∴y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；

（2）∵售價為x元/千克，進價為30元/千克，日銷量y＝﹣2x+200，每天支付其他費用500元，

∴W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣500＝﹣2x2+260x﹣6500，

（3）∵W＝﹣2x2+260x﹣6500=﹣2（x﹣65）2+1950，

∴拋物線的對稱軸為x=65，

∵-2<0，

∴拋物線開口向下，x<65時，y隨x的增大而增大，

∵30≤x≤60，

∴x＝60時，w有最大值為-2(60-65)2+1950=1900(元)，

∴當銷售單價為60元時，該公司日獲利最大為1900元．