Question

【題目】如圖，已知直線y＝+1與x軸、y軸分別交于點A、B，以線AB為直角邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90o、點P(x、y)為線段BC上一個動點(點P不與B、C重合)，設△OPA的面積為S。

（1）求點C的坐標;

（2）求S關于x的函數解析式，并寫出x的的取值范圍;

（3）△OPA的面積能于嗎，如果能，求出此時點P坐標，如果不能，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（4，3）；（2）S=， 0＜x＜4;（3）不存在.

【解析】

（1）直線y＝+1與x軸、y軸分別交于點A、B，可得點A、B的坐標，過點C作CH⊥x軸于點H，如圖1，易證△AOB≌△CHA，從而得到AH=OB、CH=AO，就可得到點C的坐標；

（2）易求直線BC解析式，過P點作PG垂直x軸，由△OPA的面積=即可求出S關于x的函數解析式.

（3）當S=求出對應的x即可.

解：（1）∵直線y＝+1與x軸、y軸分別交于點A、B，

∴A點（3，0），B點為（0，1），

如圖：過點C作CH⊥x軸于點H，

則∠AHC=90°．
∴∠AOB=∠BAC=∠AHC=90°，
∴∠OAB=180°-90°-∠HAC=90°-∠HAC=∠HCA．
在△AOB和△CHA中，

，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴AO=CH=3，OB=HA=1，
∴OH=OA+AH=4

∴點C的坐標為（4，3）；

（2）設直線BC解析式為y=kx+b，由B（0，1），C（4，3）得：

，解得，

∴直線BC解析式為，

過P點作PG垂直x軸，△OPA的面積=,

∵PG=，OA=3，

∴S==；

點P(x、y)為線段BC上一個動點(點P不與B、C重合)，

∴0＜x＜4.

∴S關于x的函數解析式為S=， x的的取值范圍是0＜x＜4;

（3）當s=時，即，解得x=4，不合題意，故P點不存在.