Question

已知：如圖，拋物線的圖象與x軸分別交于A，B兩點，與y軸交于C點，⊙M經過原點O及點A，C，點D是劣弧OA上一動點（D點與A，O不重合），直線AG切⊙M點A．
（1）求拋物線的頂點E的坐標；
（2）求直線AG的函數解析式；
（3）點D為弧AO的中點，CD交AO于點F，延長CD交AG于點G，求FG的長．

Answer 1

解：（1）拋物線y=-x²-
=-（x²+2x+1）+
=-（x+1）²+
∴E的坐標為（-1，）；

（2）連AC，延長AG交y軸于點H；
∵⊙M過A，O，C，且∠AOC=90°，
∴AC為⊙O的直徑．當x=0時，y=
∴OC=
當y=0時，x₁=-3，x₂=1
∴OA=3，由勾股定理得；
∴AC=2
∵AG是⊙M的切線
∴∠CAG=90°
∴△CAH為直角三角形．
∴△AOC∽△HOA
∴
∴OH=3
∴H（0，-3）
設AG的解析式為：y=kx+b，由題意得
解得：

∴AG的解析式為：．

（3）在Rt△ACO中，OA=3，OC=，
∵tan∠ACO=．
∴∠ACO=60°，∠CAO=30°．
∵點D是 的中點，
∴．
∴∠ACG=∠DCO=30°．
∴OF=OC•tan30°=1，∠CFO=60°．
∴AF=2，∠AFG=∠CFO=60°，
∵AG是⊙M的切線
∴∠CAG=90°
∴∠FAG=60°
∠FAG=∠AFG=60°
∴△AGF為等邊三角形．
∴AG=AF=FG．
∴FG=2．
分析：（1）已知拋物線的解析式，用配方法和公式法求都可以求解；
（2）∵AG是一條直線，利用切線的性質和三角形相似求出與y軸的交點坐標，就可以利用待定系數法求出直線的解析式；
（3）利用弧中點的定義和圓切線的性質求出三角形AFG為正三角形，以及通過解直角三角形求出AF的長而求出FG的長．
點評：本題是一道二次函數綜合試題，將拋物線與圓放在同一坐標系中研究，因此數形結合的解題思想是不可缺少的，本題考查了相似三角形，切線的性質，待定系數法求函數的解析式，正三角形性質的運用．