Question

【題目】如圖，已知線段，按照以下要求作圖和證明：用尺規作等邊；在的延長線上取點，在的延長線上取點，使得，連接，．求證：．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

作圖方法：分別以A、E為圓心以AE為半徑作弧，兩弧相交于D，延長AE在AE延長線上取一點C，以D為圓心AC為半徑與AD延長線交于點B，連接BE，BC.

證明：將△BDE繞點D逆時針旋轉60°，利用旋轉的性質和平行四邊形的判定和性質證明△BDE≌△BHC即可證明BE=BC.

解：如下圖，實線部分為所作圖.證明過程如下：

將△BDE繞點D逆時針旋轉60°得到△HAD，連接AH、BH、CH.

∵∠BDH=60°，BD=HD

∴△BDH是等邊三角形，

∴BD=BH

∵∠DAE=∠BDH=60°

∴AC//DH

∵AC=BD

∴AC=DH

∴四邊形ADHC是平行四邊形

∴CH=AD,∠DHC=∠DAE=60°

∴∠BHC=∠BHD+∠DHC=120°

∴∠BHC=∠BDE=120°

∴△BDE≌△BHC

∴BE=BC.