Question

【題目】如圖，一次函數y=x+4的圖象與反比例函數y= （k為常數，且k≠0）的圖象交于A（﹣1，a），B（b，1）兩點．

（1）求反比例函數的表達式；
（2）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標；
（3）求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當x=﹣1時，a=x+4=3，

∴點A的坐標為（﹣1，3）．

將點A（﹣1，3）代入y= 中，

3= ，解得：k=﹣3，

∴反比例函數的表達式為y=﹣

（2）

解：當y=b+4=1時，b=﹣3，

∴點B的坐標為（﹣3，1）．

作點B關于x軸的對稱點D，連接AD，交x軸于點P，此時PA+PB的值最小，如圖所示．

∵點B的坐標為（﹣3，1），

∴點D的坐標為（﹣3，﹣1）．

設直線AD的函數表達式為y=mx+n，

將點A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，

，解得： ，

∴直線AD的函數表達式為y=2x+5．

當y=2x+5=0時，x=﹣ ，

∴點P的坐標為（﹣ ，0）

（3）

解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =

【解析】（1）由一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A的坐標，根據點A的坐標利用待定系數法，即可求出反比例函數的表達式；（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標，作點B關于x軸的對稱點D，連接AD，交x軸于點P，此時PA+PB的值最小，由點B的坐標可得出點D的坐標，根據點A、D的坐標利用待定系數法，即可求出直線AB的函數表達式，再由一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標；（3）根據三角形的面積公式結合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP ， 即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解一次函數的圖象和性質的相關知識，掌握一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠，以及對反比例函數的圖象的理解，了解反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點．