Question

7．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CB，BD平分∠ABC，過BD上一點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．
（1）求證：∠ADB=∠CDB；
（2）求證：DM=DN．

Answer 1

分析 （1）首先根據角平分線的定義求出∠ABD=∠CBD，然后在△ABD和△CBD中，根據SAS證明兩個三角形全等，進而得到∠ADB=∠CDB；
（2）在△PMD和△PND中，利用∠PMD=∠PND、∠MDP=∠PND和PD=PD證明△PMD≌△PND，于是可得DM=DN．

解答 證明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠DCB}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
在△PMD和△PND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMD=∠PND}\\{∠MDP=∠PND}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△PMD≌△PND（AAS），
∴DM=DN．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握SAS和AAS證明兩個三角形全等，此題難度不大．