Question

【題目】定義：點P是△ABC內部或邊上的點（頂點除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一個三角形與△ABC相似，則稱點P是△ABC的自相似點．

例如：如圖1，點P在△ABC的內部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點P是△ABC的自相似點．

請你運用所學知識，結合上述材料，解決下列問題：

在平面直角坐標系中，點M是曲線y=（x＞0）上的任意一點，點N是x軸正半軸上的任意一點．

（1）如圖2，點P是OM上一點，∠ONP=∠M，試說明點P是△MON的自相似點；當點M的坐標是（，3），點N的坐標是（，0）時，求點P的坐標；

（2）如圖3，當點M的坐標是（3，），點N的坐標是（2，0）時，求△MON的自相似點的坐標；

（3）是否存在點M和點N，使△MON無自相似點？若存在，請直接寫出這兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P（，）；（2）（1，）或（2，）；（3）存在, M（，3），N（，0）．

【解析】

試題（1）由∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，得出△NOP∽△MON，證出點P是△MON的自相似點；過P作PD⊥x軸于D，則tan∠POD= =，求出∠AON=60°，由點M和N的坐標得出∠MNO=90°，由相似三角形的性質得出∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，由三角函數求出OP=，OD=，PD=，即可得出答案；

（2）作MH⊥x軸于H，由勾股定理求出OM=，直線OM的解析式為y=x，ON=2，∠MOH=30°，分兩種情況：①作PQ⊥x軸于Q，由相似點的性質得出PO=PN，OQ=ON=1，求出P的縱坐標即可；

②求出MN==2，由相似三角形的性質得出，求出PN=，在求出P的橫坐標即可；

（3）證出OM==ON，∠MON=60°，得出△MON是等邊三角形，由點P在△MON的內部，得出∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，即可得出結論．

試題解析：解：（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，∴△NOP∽△MON，∴點P是△MON的自相似點．

過P作PD⊥x軸于D，則tan∠POD= =，∴∠MON=60°．∵當點M的坐標是（，3），點N的坐標是（，0），∴∠MNO=90°．∵△NOP∽△MON，∴∠NPO=∠MNO=90°．在Rt△OPN中，OP=ONcos60°=，∴OD=OPcos60°==，PD=OPsin60°=×=，∴P（，）；

（2）作MH⊥x軸于H，如圖3所示．∵點M的坐標是（3，），點N的坐標是（2，0），∴OM= =．直線OM的解析式為y=x，ON=2，∠MOH=30°，分兩種情況：

①如圖3所示，∵P是△MON的相似點，∴△PON∽△NOM．

作PQ⊥x軸于Q，∴PO=PN，OQ=ON=1．∵P的橫坐標為1，∴y=×1=，∴P（1，）；

②如圖4所示，由勾股定理得：MN==2．∵P是△MON的相似點，∴△PNM∽△NOM，∴，即，解得：PN=，即P的縱坐標為，代入y=x，得： =x，解得：x=2，∴P（2，）．

綜上所述：△MON的自相似點的坐標為（1，）或（2，）；

（3）存在點M和點N，使△MON無自相似點，M（，3），N（，0）．理由如下：

∵M（，3），N（，0），∴OM==ON，∠MON=60°，∴△MON是等邊三角形．∵點P在△MON的內部，∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，∴存在點M和點N，使△MON無自相似點．