Question

13．如圖，正方形ABCD的邊長為10，內部有6個全等的正方形，小正方形的頂點E，F，G，H分別落在邊AD，AB，BC，CD上，求小正方形的邊長．

Answer 1

分析 根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AEG=∠CGE，再根據等角的余角相等求出∠DEH=∠BGF，然后利用“角角邊”證明△DEH和△BGF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DE=BG，過點G作GK⊥AD于K，可得AK=BG，再求出△DEH和△KGE相似，利用相似三角形對應邊成比例求出DE，再求出EK，然后利用勾股定理列式求出EG，然后求解即可．

解答 解：∵正方形ABCD的對邊AD∥BC，
∴∠AEG=∠CGE，
∴∠DEH=∠BGF，
∵6個小正方形大小相同，
∴EH=GF，
在△DEH和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEH=∠BGF}\\{∠B=∠D=90°}\\{EH=GF}\end{array}\right.$，
∴△DEH≌△BGF（AAS），
∴DE=BG，
過點G作GK⊥AD于K，則四邊形ABGK是矩形，
所以，AK=BG，KG=AB=10，
∵∠DEH+∠KEG=90°，
∠KEG+∠KGE=90°，
∴∠DEH=∠KGE，
又∵∠D=∠EKG=90°，
∴△DEH∽△KGE，
∴$\frac{DE}{KG}$=$\frac{EH}{GE}$=$\frac{1}{5}$，
∴DE=$\frac{1}{5}$KG=$\frac{1}{5}$×10=2，
∴EK=AD-DE-AK=10-2-2=6，
在Rt△KEG中，由勾股定理得，EG=$\sqrt{{6}^{2}+1{0}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
所以，小正方形的邊長為2$\sqrt{34}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{2\sqrt{34}}{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，難點在于作輔助線構造出相似三角形和全等三角形．