Question

【題目】如圖,已知拋物線的對稱軸是x=－4,拋物線與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,O是坐標原點,且A,C的坐標分別是(－2,0),(0,3).

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上有一點是P,滿足∠PBC=90,求P點的坐標；

（3）y軸上是否存在點E使得△AOE與△PBC相似?若存在求出點E的坐標,若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x+3 ；（2）（-10，8）；（3）（0，）和（0，-）.

【解析】

根據對稱性寫出B點坐標，再設參數解方程求得拋物線解析式；利用相似三角形的判定及性質定理及拋物線解析式解出P坐標；第三問同樣借助相似三角形性質定理解答.

（1）拋物線的對稱軸是x=－4，A的坐標是(－2,0)，則B坐標為(-6,0)，設,把AB兩點坐標帶入得：,解得,拋物線解析式為 y=x2+2x+3；（2）過P作PF,所以,從而,又OB=6,OC=3,故PF=2BF,設BF=m則PF=2m，OF=6+m,P坐標為（-6-m,2m）,由點P在拋物線上可得2m=,解得m1=0(舍去),m2=4，故P（-10，8）；（3）設E坐標為（0，n）,由已知得BC=,PB=4,若△AOE△PBC，則,,n=,所以存在E點，E點坐標為（0，）和（0，-）.