Question

10．正△ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點，P是BC邊上的任意一點，PA+PM的最大值是2+$\sqrt{3}$，最小值是$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作點M關于CB的對稱點M′連接AM′、M′C，AM′交BC與點P，由等腰三角形三線合一的性質可知∠MCP=∠ACP=30°，由軸對稱的性質可知∠MCP=∠M′CP，從而得到∠ACM′=90°，在Rt△AM′C中利用勾股定理可求得AM′的長，從而可求得PA+PM的最小值；如圖2所示；當點P與點C重合時，PA+PM有最大值．

解答 解：如圖1所示：作點M關于CB的對稱點M′連接AM′、M′C．

∵點M與點M′關于BC對稱，
∴MP=M′P，∠MCP=∠M′CP．
∵△ABC是正三角形，M是AB的中點，
∴MC=CM′，∠MCP=∠ACP=30°．
∴∠MCP=∠ACP=∠M′CP=30°．
∴CM′=MC=BC×cos30°=$2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴∠ACM′=90°．
∴AM′=$\sqrt{A{M}^{2}+M′{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴PA+PM的最小值是$\sqrt{7}$．
如圖2所示：當點P與點C重合時．PM+PA有最大值．

∵PM=$\sqrt{3}$，AP=2，
∴PA+PM=2+$\sqrt{3}$．
故答案為：2+$\sqrt{3}$；$\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查的軸對稱最短路徑問題、勾股定理的應用、等腰三角形的性質，明確當點M′、P、A在一條直線上時，PM+PA有最小值，當點P與點C重合時，PM+PA有最大值是解題的關鍵．