Question

【題目】如圖，拋物線y=ax+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-1,0），B（4,0）兩點，與y軸交于點C，且OC=3OA，點P是拋物線上的一個動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點D，連接PC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P在拋物線上運動時，將△CPD沿直線CP翻折，點D的對應點為點Q，試問四邊形CDPQ是否能成為菱形？如果能，請求出此時點P的坐標，如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+x+3,；（2）見解析.

【解析】

（1）關鍵已知點求解析式即可（2）假設存在這樣的點，關鍵菱形的證明方法去找出條件證明.

解：（1）由OC=3OA，得C（0,3），將A（-1,0），B（4,0），C（0,3）代入y=ax+bx+c 中，得：解得 ，故拋物線的解析式為：y=x+x+3,；

（2）存在這樣的Q點，使得四邊形CDPQ是菱形，如圖1，當點Q落在y軸上時，四邊形CDPQ是菱形，理由是：由軸對稱的性質知：CD=CQ，PQ=PD,∠PCQ=∠PCD，當點Q落在y軸上時，CQ//PD,∴ ∠PCQ=∠CPD，∴∠PCD=∠CPD，∴CD=PD, ∴CD=DP=PQ=QC,∴四邊形CDPQ是菱形，過D作DG⊥y軸于點G，設P（n，- n+ n+3），

設一次函數解析式為B（4,0），C（0,3）帶入求得一次函數解析式為：

則D（n，- n+3），

在Rt△CGD中，CD==

而 PD==，∵PD=CD，∴- n+3n=n…①或- n+3n=-n…②， 解方程①得：n=或n=0（不符合條件，舍去），解方程②得：n= 或n=0，（不符合條件，舍去），當n= 時，P（， ），如圖1，當n= 時，P（，- ）如圖2，綜上所述，存在這樣的Q點，使得四邊形CDPQ是菱形，此時點P的坐標為（， ）或（，- ）.