Question

【題目】如圖，中，，以為底邊作等腰三角形，，過點作，垂足為，與相交于點，連接．

（1）求證：．

（2）若，，點是射線上的一點，則當點為何處時，的周長最小，并求出此時的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）.

【解析】

（1）首先證明EA=EC，再證明EC=EB即可解決問題．
（2）先說明P與E重合時△PBC的周長最小，最小值=AB+AC．

（1）證明：∵DA=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF，
∴DE垂直平分線段AC，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠B=90°，∠ECA+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠B，
∴EC=EB=EA．
（2）連接PB、PC、PA．

要使得△PBC的周長最小，只要PB+PC最小即可．
∵PB+PC=PA+PB≥AB，
∴當P與E重合時，PA+PB最小，
∴△PBC的周長最小值=AB+BC=15+9=24cm．