Question

一量角器的直徑與30°的較長直角板直角邊重合，且直角板Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，量角器半⊙O從初始位置（點E與點B重合，EF落在BC上，如左圖所示）在線段BC上沿BC方向以每秒1個單位的速度平移，半⊙O分別與AB相交于點M，N．當點F運動到點C時，半⊙O終止運動，此時半⊙O恰好與AB相切，設半⊙O平移的時間為x．
（1）求半⊙O的半徑？
（2）用含x的代數式表示MN；
（3）求BN的最大值？

Answer 1

分析：（1）首先連接OM，設⊙O的半徑為r，由AB與半⊙O相切，根據切線的性質與直角三角形的性質，即可求得r的值；
（2）首先過點O作OD⊥AB于D，由∠A=60°，可得OD=

1

2

OB=

1

2

（x+2），然后由OD²+ND²=NO²，列方程即可求得ND的值，又由OD⊥MN，可得MN的值；
（3）由BD=

3

2

（x+2），DN=

3- 1 4 x2-x

，可得BN=

3

2

（x+2）+

3- 1 4 x2-x

，然后設BN=y，可得（x+2）²-

3

y（x+2）+y²-4=0，又由此方程中x+2有實數解，由判別式b²-4ac求得BN的最大值．

解答：解：（1）如圖1，連接OM，設⊙O的半徑為r，
∵AB與半⊙O相切，
∴OM⊥AB，
∴∠OMB=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴BO=2OM=2，
∴BC=BO+OC=2r+r=3r，
∵BC=6，
∴3r=6，
∴r=2，
答：⊙O的半徑為2；（3分）

（2）如圖2，過點O作OD⊥AB于D，（4分）
∴∠BDO=90°，
∵∠A=60°，
∴OD=

1

2

OB=

1

2

（x+2），（5分）
∵∠NDO=90°，
∴OD²+ND²=NO²，
∴（

1

2

（x+2））²+ND²=2²，
∴ND=

3- 1 4 x2-x

，（6分）
∵OD⊥MN，
∴MN=2ND=2

3- 1 4 x2-x

=

-x2-4x+12

；（7分）

（3）∵BD=

3

2

（x+2），DN=

3- 1 4 x2-x

，
∴BN=

3

2

（x+2）+

3- 1 4 x2-x

，（8分）
設BN=y，則y=

3

2

（x+2）+

3- 1 4 x2-x

，
∴

3- 1 4 x2-x

=y-

3

2

（x+2），
∴（x+2）²-

3

y（x+2）+y²-4=0，
∵此方程中x+2有實數解，
∴b²-4ac=（

3

y）²-4（y²-4）≥0，（9分）
∴y²≤16，
∴y≤4，
所以BN的最大值為4．（10分）

點評：此題考查了切線的性質，勾股定理，一元二次方程的判別式等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．