Question

【題目】周老師家的紅心獼猴桃深受廣大顧客的喜愛，獼猴桃成熟上市后，她記錄了15天的銷售數量和銷售單價，其中銷售單價y（元/千克）與時間第x天（x為整數）的數量關系如圖所示，日銷量P（千克）與時間第x天（x為整數）的部分對應值如下表所示：

時間第x天	1	3	5	7	10	11	12	15
日銷量P（千克）	320	360	400	440	500	400	300	0

（1）求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）從你學過的函數中，選擇合適的函數類型刻畫P隨x的變化規律，請直接寫出P與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；

（3）在這15天中，哪一天銷售額達到最大，最大銷售額是多少元；

（4）周老師非常熱愛公益事業，若在前5天，周老師決定每銷售1千克紅心獼猴桃就捐獻a元給“環保公益項目”，且希望每天的銷售額不低于2800元以維持各種開支，求a的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（x取整數）；

（2）（x取整數）；

（3）第10天銷售額達到最大，最大銷售額是4500元；

（4）的最大值為2

【解析】

（1）根據函數圖象，用待定系數法，即可求得函數關系式及其自變量的范圍；

（2）根據表格里的兩個變量的值是均勻變化的，可知，p是關于x的一次函數，用待定系數法，即可求得函數表達式及其自變量的范圍；

（3）根據“每天的銷售額=銷售單價×日銷售量”，在自變量的不同取值范圍內，可列出，銷售額關于的函數表達式，分別求出銷售額的最大值即可；

（4）根據題意，列出關于的不等式，在的取值范圍內，求出參數最大值即可.

（1）① 當時，設（），把點（0，14），（5，9）代入，得 ，解得： ，

∴；

②當時， ，

∴（x取整數）；

（2）由表格數據可知，p是關于x的一次函數，設，

①當時，把，代入可得：，

解得：，

∴；

②當時，同理，用待定系數法可得：，

∴（x取整數）；

（3）設銷售額為，

①當時，

=，

∴當時，；

②當時，

，

∴當時，；

③當時，，

∴當時，，

綜上所述：第10天銷售額達到最大，最大銷售額是4500元；

（4）根據題意，可得：

當時， ，

即，在，且x取整數范圍內，恒成立，

當x=1時，，解得：，

當x=2時，，解得：，

當x=3時，，解得：，

當x=4時，，解得：，

當x=5時，，解得：，

綜上所述：，

∴的最大值為2.