Question

【題目】我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊。

（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱；

（2）如圖，將繞頂點B順時針方向旋轉，得到，連接AD、DC，，求證：，即四邊形ABCD是勾股四邊形。

Answer 1

【答案】(1)正方形、長方形、直角梯形(任選兩個均可)；(2)證明過程見解析.

【解析】

(1)只要四邊形中有一個角是直角，根據勾股定理就有兩直角邊平方的和等于斜邊的平方，即此四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，由此可知，正方形、長方形、直角梯形都是勾股四邊形．

(2)首先證明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，連接CE，進一步得出△BCE為等邊三角形；利用等邊三角形的性質，進一步得出△DCE是直角三角形，問題得解．

解：(1)正方形、長方形、直角梯形(任選兩個均可)

(2)證明：連結EC

∵△DBE是由△ABC繞頂點B順時針方向旋轉得到

∴△ABC≌△DBE，

∴AC=DE，BC=BE，

∵∠CBE=60°，

∴EC=BC=BE，∠BCE=60°，

∵∠DCB=30°，

∴△DCE=90°，

∴DC2+CE2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2，

即四邊形ABCD是勾股四邊形.

故答案為：(1)正方形、長方形、直角梯形(任選兩個均可)；(2)證明過程見解析.