Question

6．如圖，點P是直線l：y=-2x-2上的點，過點P的另一條直線m交拋物線y=x²于A，B兩點．
（1）若直線m的解析式為y=-x+2，求P，A，B三點的坐標；
（2）若點P的坐標為（-2，2），當PA=PB時，求點A的坐標；
（3）求證：對于直線l上任意一點P，在拋物線上都能找到兩個不同位置的點A，使得PA=PB成立？

Answer 1

分析 （1）聯立拋物線y=x²與直線y=-2x-2的解析式，求出點A、B的坐標；兩個一次函數聯立方程組求得點P坐標；
（2）設A（m，m²），分別過點P、A、B作x軸垂線，垂足分別為點G、E、F，再利用梯形的性質得出B點坐標，代入y=x²求出m的值即可得出A點坐標；
（3）首先設P（a，-2a-2），A（m，m²），再表示出B點坐標，進而利用根的判別式求出，無論a為何值時，關于m的方程總有兩個不相等的實數根，進而得出答案．

解答 解：（1）∵點A、B是拋物線y=x²與直線y=-x+2的交點，
∴x²=-x+2，
解得x=-2或x=1．
當x=-2時，y=4；當x=1時，y=1，
∴A（-2，4），B（1，1）．
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴點P（-4，6）；

（2）設A（m，m²），如圖1所示，

分別過點P、A、B作x軸垂線，垂足分別為點G、E、F．
∵PA=AB，
∴AE是梯形PGFB的中位線，
∴GE=EF，AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=2+m，EO=-m，
∴OF=|2+m-（-m）|=|2+2m|，
∴OF=2m+2，
∵AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²-2，
∴B（2+2m，2m²-2）．
∵點B在拋物線y=x²上，
∴2m²-2=（2+2m）²
解得：m=1或-3，
當m=-1時，m²=1；當m=-3時，m²=9
故點A的坐標為（-1，1）或（-3，9）．

（3）證明：設P（a，-2a-2），A（m，m²）．
如圖1所示，

分別過點P、A、B作x軸的垂線，垂足分別為點G、E、F．
∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位線，
∴GE=EF，AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=m-a，EO=-m，
∴OF=|m-a-（-m）|=|2m-a|，
∴OF=2m-a，
∵AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²+2a+2，
可得：B（2m-a，2m²+2a+2）．
∵點B在拋物線y=x²上，
∴2m²+2a+2=（2m-a）²
整理得：2m²-4am+a²-2a-2=0．
△=8（a+1）²+8＞0，
∴無論a為何值時，關于m的方程總有兩個不相等的實數根．
即對于任意給定的點P，拋物線上總能找到兩個滿足條件的點A，使得PA=AB成立．

點評 本題考查二次函數綜合題，二次函數與一次函數的圖象與性質、梯形及梯形中位線一元二次方程等知識點，有一定的難度．掌握二次函數、一次函數點的坐標特征，正確表示出B點坐標是解題關鍵．