Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，對角線AC，BD交于點O，點P從點A出發，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．連接PO并延長，交BC于點E，過點Q作QF∥AC，交BD于點F．設運動時間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問題：

（1）當t為何值時，AP=PO．
（2）設五邊形OECQF的面積為S（cm2），試確定S與t的函數關系式；
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，

∴AC=10，AO= AC=5，

∵AP=PO=t，

過P作PM⊥AO，如圖1所示：

∴AM= AO= ，

∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，

∴△APM∽△ACD，

∴ ，即 ，

解得：t= ，

即t= 時，AP=PO；

（2）

解：過點O作OH⊥BC交BC于點H，則OH= CD= AB=3cm．

由矩形的性質可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，

在△DOP和△BOE中， ，

∴△DOP≌BOE（ASA），

∴BE=PD=8﹣t，

則S△BOE= BEOH= ×3（8﹣t）=12﹣ t．

∵FQ∥AC，

∴△DFQ∽△DOC，相似比為 ，

∴ = ，

∵S△DOC= S矩形ABCD= ×6×8=12cm2，

∴S△DFQ=12× = ，

∴S五邊形OECQF=S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ= ×6×8﹣（12﹣ t）﹣ =﹣ t2+ t+12；

∴S與t的函數關系式為S=﹣ t2+ t+12；

（3）

解：存在，理由如下：

如圖3，過D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，

∵∠POD=∠COD，

∴DM=DN= ，

∴ON=OM= = ，

∵OPDM=3PD，

∴OP=5﹣ t，

∴PM= ﹣ t，

∵PD2=PM2+DM2，

∴（8﹣t）2=（ ﹣ t）2+（ ）2，

解得：t=16（不合題意，舍去），t= ，

∴當t= 時，OD平分∠COP．

【解析】（1.）根據矩形的性質和勾股定理得到AC=10，過P作PM⊥AO，證明△APM∽△ACD，根據相似三角形的性質即可得出答案；
（2.）過點O作OH⊥BC交BC于點H，已知BE=PD，則可求△BOE的面積；可證得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面積比可求得△DFQ的面積，從而可求五邊形OECQF的面積．
（3.）由角平分線的性質得到DM=DN= ，根據勾股定理得到ON=OM= = ，由三角形的面積公式得到OP=5﹣ t，根據勾股定理列方程，解方程即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了全等三角形的性質的相關知識點，需要掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等才能正確解答此題．