Question

如圖1，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為，
直線：與坐標軸分別交于A、C兩點，點B的坐標為（－4,1），⊙B與
軸相切于點M.

小題1:求點A的坐標及∠CAO的度數
小題2:⊙B以每秒1個單位長度的速度沿軸向右平移，同時，直線繞點A逆時針勻速旋轉.當⊙B第一次與⊙O相切時，直線也恰好與⊙B第一次相切，問：直線繞點A
每秒旋轉多少度？
小題3:如圖2，過A、O、C三點作⊙O₁，點E為劣弧AO上一點，連接EC、EA、EO，
當點E在劣弧AO上運動時(不與A、O兩點重合)，的值是否發生變化？如
果不變，求其值；如果變化，說明理由.

Answer 1

 
小題1:當時，，
∴A（,0）.----------------------------------------------------------1分
當時，，
∴C（,0），
∴OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA.---------------------------------------------------------2分
∵OA⊥OC，
∴∠CAO＝45°.----------------------------------------------------------3分
小題2:如圖，設⊙B平移t秒到⊙B₁處時與⊙O第一次相切.
設⊙B₁與x軸相切于點N，連接OB₁，

∵點B的坐標為（－4,1），⊙B與軸相切于點M，
∴⊙B的半徑是1，OM＝4，
∴B₁N＝1.
∵⊙O的半徑是，
∴OB₁＝，
∴ON＝，
∴MN＝OM―ON＝4―1＝3.
∴當⊙B第一次與⊙O相切時,t＝3.----------------------------------------6分
當⊙B第一次與⊙O相切時，直線旋轉到直線AP的位置，P是直線與⊙B₁的切點.
∵ON＝B₁N＝1，∠B₁NO＝90°，
∴∠B₁ON＝∠OB₁N＝45°.
∵OA＝OB₁＝，
∴∠OAB₁＝∠OB₁A＝∠B₁ON＝22.5°.------------------------------------7分
∵AP、AN都是⊙B1的切線，
∴AP＝AN，∠B₁PA＝∠B₁NA＝90°.
∴△B₁AP≌△B₁AN，
∴∠B₁AP＝∠B₁AN＝22.5°，
∴∠PAN＝45°.----------------------------------------------------------8分
∴∠PAC＝∠PAN＋∠NAC＝90°.
∴直線旋轉角是90°.---------------------------------------------------9分
∴旋轉的速度＝90°÷3＝30°.--------------------------------------------10分
小題3:的值不變，等于． -------------------------------------11分
如圖，在CE上截取CK=EA，連接OK，--------------------------------------12分

∵∠OAE=∠OCK，OA=OC．
∴△OAE≌△OCK．
∴OE=OK，∠EOA=∠KOC，
∴∠EOK=∠AOC=90°．
∴EK=EO，-----------------------------------------------------------13分
∴--------------------

 略