Question

（本題12分）如圖，兩個同樣大小的等邊△ABC和△ACD，邊長為a，它們拼成一個菱形ABCD，另一個足夠大的等邊△AEF繞點A旋轉，AE與BC相交于點M，AF與CD相交于點N。

小題1:（1）證明：∠DAN=∠CAM;
小題2:（2）求四邊形AMCN的面積；
小題3:（3）探索△AMN何時面積最小，并寫出這個最小面積的值.

Answer 1

小題1:（1）證明：（略）
小題2:（2）四邊形AMCN的面積為
小題3:（3）當AM⊥BC時，△AMN的面積最小，最小面積為

分析：
（1）由△ABC和△ACD，△AEF都是等邊三角形，得到∠DAC=∠FAE=60°，得到∠DAN=∠CAM；
（2）由（1）和等邊三角形的性質得到∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，則△ADN≌△ACM，于是有S四邊形AMCN的面積=S△ABC=；
（3）由（2）得AN=AM，再根據三角形的面積公式得S△AMN=1/2AM?AN?sin∠NAM=1/2
AM2?sin60°=/4×AM²，當AM最小時，S△AMN最小，即AM為BC邊上的高，而AM=/2a，即可得到△AMN面積最小值。
解答：
（1）證明：∵△ABC和△ACD，△AEF都是等邊三角形，
∴∠DAC=∠FAE=60°，
∴∠DAN=∠CAM；
（2）∵∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，
∴△ADN≌△ACM，
∴S四邊形AMCN的面積=S△ABC=。
（3）∵△ADN≌△ACM，
∴AN=AM，
∴S△AMN=1/2AM?AN?sin∠NAM=AM2?sin60°=/4×AM²，
當AM最小時，S△AMN最小，即AM為BC邊上的高，
∴AM=/2a，
∴△AMN面積最小值=/4×3/4×a2=3/16a²。
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線段所夾的角等于旋轉角．也考查了三角形全等的判定與性質和等邊三角形的性質以及它的面積公式。