Question

【題目】設a，b是任意兩個不等實數，我們規定：滿足不等式a≤x≤b的實數x的所有取值的全體叫做閉區間，表示為[a，b]．對于一個函數，如果它的自變量x與函數值y滿足當m≤y≤n，我們就稱此函數是閉區間[m，n]上的“閉函數”．

（1）反比例函數y=是閉區間[1，2019]上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由．

（2）若一次函數y=kx+b(k≠0)是閉間[m，n]上的“閉函數”，求此函數的解析式．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）當k＞0時，函數的解析式為y=x；當k＜0時，函數的解析式為y=﹣x+m+n．

【解析】

（1）根據“閉函數”的定義驗證反比例函數y=的函數值y是否滿足1≤y≤2019即可；

（2）分兩種情況：當時和當時，分別用待定系數法求一次函數的解析式即可．

（1）反比例函數y=是閉區間[1，2019]上的“閉函數”，

理由：∵當x=1時，y=2019，當x=2019時，y=1，

∴反比例函數y=是閉區間[1，2019]上的“閉函數”；

（2）∵一次函數y=kx+b(k≠0)是閉區間[m，n]上的“閉函數”，

∴當k＞0時，根據題意有

解得 ，

即此函數的解析式為y=x；

當k＜0時，根據題意有

解得 ，

即此函數的解析式為y=﹣x+m+n．