Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：連接PC交⊙C于點N，若點P關于點N的對稱點Q在⊙C的內部，則稱點P是⊙C的外稱點．

（1）當⊙O的半徑為1時，

①在點D（﹣1，﹣1），E（2，0），F（0，4）中，⊙O的外稱點是　 　；

②若點M（m，n）為⊙O的外稱點，且線段MO交⊙O于點G，求m的取值范圍；

（2）直線y＝﹣x+b過點A（1，1），與x軸交于點B．⊙T的圓心為T（t，0），半徑為1．若線段AB上的所有點都是⊙T的外稱點，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①D，E；②＜m＜；（2）﹣1＜t＜2﹣或3＜t＜1+2．

【解析】

（1）①根據⊙O的外應點的定義，畫出圖形即可判斷；

②作射線GO，交⊙O于點H（﹣，﹣），作點H關于點G的對稱點H'（，），由點M為⊙O的外應點，推出點M在線段GH'上（不與G，H'重合），由此即可解決問題；

（2）求出四種特殊位置t的值即可判斷.

（1）①如圖1中，

根據點P是⊙O的外應點定義，觀察圖象可知，⊙O的外應點是D，E．

故答案為D，E．

②如圖2中，作射線GO，交⊙O于點H（﹣，﹣），

作點H關于點G的對稱點H'（，），

∵點M為⊙O的外應點，

∴點M在線段GH'上（不與G，H'重合）．

∴＜m＜．

（2）由題意A（1，1），∵直線y＝﹣x+b過點A（1，1），

∴b＝2，可得B（2，0）

如圖3中，當半徑為3的⊙T經過點B時，T（﹣1，0）

如圖4中，當半徑為1的⊙T與AB相切于F時，易知TF＝FB＝1，TB＝，

∴OT＝2﹣，

∴T（2﹣，0）

觀察圖象可知：當﹣1＜t＜2﹣時，線段AB上的所有點都是⊙T的外應點；

如圖5中，當半徑為1的⊙T經過點B時，T（3，0），

如圖6中，當半徑為3的⊙T經過點A時，易知T（1+2，0）

觀察圖象可知：當3＜t＜1+2時，線段AB上的所有點都是⊙T的外應點，

綜上所述，滿足條件的t的值為：﹣1＜t＜2﹣或3＜t＜1+2．