【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C,給出如下定義:連接PC交⊙C于點N,若點P關于點N的對稱點Q在⊙C的內部,則稱點P是⊙C的外稱點.
(1)當⊙O的半徑為1時,
①在點D(﹣1,﹣1),E(2,0),F(0,4)中,⊙O的外稱點是 ;
②若點M(m,n)為⊙O的外稱點,且線段MO交⊙O于點G,求m的取值范圍;
(2)直線y=﹣x+b過點A(1,1),與x軸交于點B.⊙T的圓心為T(t,0),半徑為1.若線段AB上的所有點都是⊙T的外稱點,請直接寫出t的取值范圍.
【答案】(1)①D,E;②<m<
;(2)﹣1<t<2﹣
或3<t<1+2
.
【解析】
(1)①根據⊙O的外應點的定義,畫出圖形即可判斷;
②作射線GO,交⊙O于點H(﹣,﹣
),作點H關于點G的對稱點H'(
,
),由點M為⊙O的外應點,推出點M在線段GH'上(不與G,H'重合),由此即可解決問題;
(2)求出四種特殊位置t的值即可判斷.
(1)①如圖1中,
根據點P是⊙O的外應點定義,觀察圖象可知,⊙O的外應點是D,E.
故答案為D,E.
②如圖2中,作射線GO,交⊙O于點H(﹣,﹣
),
作點H關于點G的對稱點H'(,
),
∵點M為⊙O的外應點,
∴點M在線段GH'上(不與G,H'重合).
∴<m<
.
(2)由題意A(1,1),∵直線y=﹣x+b過點A(1,1),
∴b=2,可得B(2,0)
如圖3中,當半徑為3的⊙T經過點B時,T(﹣1,0)
如圖4中,當半徑為1的⊙T與AB相切于F時,易知TF=FB=1,TB=,
∴OT=2﹣,
∴T(2﹣,0)
觀察圖象可知:當﹣1<t<2﹣時,線段AB上的所有點都是⊙T的外應點;
如圖5中,當半徑為1的⊙T經過點B時,T(3,0),
如圖6中,當半徑為3的⊙T經過點A時,易知T(1+2,0)
觀察圖象可知:當3<t<1+2時,線段AB上的所有點都是⊙T的外應點,
綜上所述,滿足條件的t的值為:﹣1<t<2﹣或3<t<1+2
.
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【題目】如圖所示,拋物線的對稱軸為直線
,與
軸的一個交點坐標為
,其部分圖象如圖所示,下列結論:
①;
②;
③方程的兩個根是
;
④方程有一個實根大于
;
⑤當時,
隨
增大而增大.
其中結論正確的個數是( )
A.個B.
個C.
個D.
個
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【題目】已知拋物線與軸交于
兩點,與
軸交于點
.
(1)求此拋物線的表達式及頂點的坐標;
(2)若點是
軸上方拋物線上的一個動點(與點
不重合),過點
作
軸于點
,交直線
于點
,連結
.設點
的橫坐標為
.
①試用含的代數式表示
的長;
②直線能否把
分成面積之比為1:2的兩部分?若能,請求出點
的坐標;若不能,請說明理由.
(3)如圖2,若點也在此拋物線上,問在
軸上是否存在點
,使
?若存在,請直接寫出點
的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】運動員將小球沿與地面成一定角度的方向擊出,在不考慮空氣阻力的條件下,小球的飛行高度h(m)與它的飛行時間t(s)滿足二次函數關系,t與h的幾組對應值如下表所示.
t(s) | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | … |
h(m) | 0 | 8.75 | 15 | 18.75 | 20 | … |
(1)求h與t之間的函數關系式(不要求寫t的取值范圍);
(2)求小球飛行3s時的高度;
(3)問:小球的飛行高度能否達到22m?請說明理由.
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【題目】如圖,邊長為2的正方形ABCD,點P從點A出發以每秒1個單位長度的速度沿A﹣D﹣C的路徑向點C運動,同時點Q從點B出發以每秒2個單位長度的速度沿B﹣C﹣D﹣A的路徑向點A運動,當Q到達終點時,P停止移動,設△PQC的面積為S,運動時間為t秒,則能大致反映S與t的函數關系的圖象是( )
A.B.
C.D.
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【題目】在△ABC中,∠ACB=45°,BC=5,AC=2,D是BC邊上的動點,連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE,連接EC.
(1)如圖a,求證:CE⊥BC;
(2)連接ED,M為AC的中點,N為ED的中點,連接MN,如圖b.
①寫出DE、AC,MN三條線段的數量關系,并說明理由;
②在點D運動的過程中,當BD的長為何值時,M,E兩點之間的距離最。孔钚≈凳 ,請直接寫出結果.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,以CD為直徑的⊙O分別交AC、BC于點M、N,過點N作NE⊥AB,垂足為E.
(1)若⊙O的半徑為,AC=6,求BN的長;
(2)求證:NE與⊙O相切.
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【題目】已知一個二次函數圖象上部分點的橫坐標與縱坐標
的對應值如下表所示:
... | ... | ||||||
... | ... |
(1)求這個二次函數的表達式;
(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數的圖象;
(3時,
的取值范圍.
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