Question

13．如圖，邊長為4正方形ABCD中，E為邊AD的中點，連接線段EC交BD于點F，點M是線段CE延長線上的一點，且∠MAF為直角，則DM的長為$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 作MN⊥AD，先證明MA=ME，進而求出AN=NE=1，利用MN∥CD得$\frac{MN}{CD}=\frac{NE}{ED}$求出MN，在RT△MND中利用勾股定理即可求出DM．

解答 解：作MN⊥AD垂足為N．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠CBF，BC∥AD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵BF=BF，
∴△BFA≌△BFC，
∴∠BAF=∠BCF=∠CED=∠AEM，
∵∠MAF=∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠MAE，
∴∠MAE=∠AEM，
∴MA=ME
∵AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴AN=NE=$\frac{1}{2}AE$=1，
∵∠MNE=∠CDE=90°，
∴MN∥CD，
∴$\frac{NE}{ED}=\frac{MN}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∵CD=4，
∴MN=2，
在RT△MND中，∵MN=2，DN=3，
∴DM=$\sqrt{D{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
故答案為$\sqrt{13}$．

點評 本題考查正方形的性質、等腰三角形的判定和性質、平行成比例的性質、勾股定理等知識，靈活運用這些知識是解題的關鍵．