Question

12．如圖，折疊邊長為a的正方形ABCD，使點C落在邊AB上的點M處（不與點A，B重合），點D落在點N處，折痕EF分別與邊BC、AD交于點E、F，MN與邊AD交于點G．證明：
（1）△AGM∽△BME；
（2）若M為AB中點，則$\frac{AM}{3}$=$\frac{AG}{4}$=$\frac{MG}{5}$；
（3）△AGM的周長為2a．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的性質和折疊的性質得出∠A=∠B，∠AGM=∠BME，再利用相似三角形的判定證明即可；
（2）設BE=x，利用勾股定理得出x的值，再利用相似三角形的性質證明即可；
（3）設BM=x，AM=a-x，利用勾股定理和相似三角形的性質證明即可．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠AMG+∠AGM=90°，
∵EF為折痕，
∴∠GME=∠C=90°，
∴∠AMG+∠BME=90°，
∴∠AGM=∠BME，
在△AGM與△BME中，
∵∠A=∠B，∠AGM=∠BME，
∴△AGM∽△BME；
（2）∵M為AB中點，
∴BM=AM=$\frac{a}{2}$，
設BE=x，則ME=CE=a-x，
在Rt△BME中，∠B=90°，
∴BM²+BE²=ME²，即（$\frac{a}{2}$）²+x²=（a-x）²，
∴x=$\frac{3}{8}$a，
∴BE=$\frac{3}{8}$a，ME=$\frac{5}{8}$a，
由（1）知，△AGM∽△BME，
∴$\frac{AG}{BM}$=$\frac{GM}{ME}$=$\frac{AM}{BE}$=$\frac{4}{3}$，
∴AG=$\frac{4}{3}$BM=$\frac{2}{3}$a，GM=$\frac{4}{3}$ME=$\frac{5}{6}$a，
∴$\frac{AM}{3}$=$\frac{AG}{4}$=$\frac{MG}{5}$；
（3）設BM=x，則AM=a-x，ME=CE=a-BE，
在Rt△BME中，∠B=90°，
∴BM²+BE²=ME²，即x²+BE²=（a-BE）²，
解得：BE=$\frac{a}{2}$-$\frac{x2}{2a}$，
由（1）知，△AGM∽△BME，
∴$\frac{C△AGM}{C△BME}$=$\frac{AM}{BE}$=$\frac{2a}{a+x}$，
∵C_△BME=BM+BE+ME=BM+BE+CE=BM+BC=a+x，
∴C_△AGM=C_△BME•$\frac{AM}{BE}$=（a+x）•$\frac{2a}{a+x}$=2a．

點評 此題考查了折疊的性質、正方形的性質、勾股定理以及相似三角形的判定與性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．