Question

【題目】我們把滿足某種條件的所有點組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝12，動點P從點A開始沿射線AC方向以1個單位秒的速度向點C運動，動點Q從點C開始沿射線CB方向以2個單位/秒的速度向點運動，P、Q兩點分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，在整個運動過程中，線段PQ的中點M運動的軌跡長為__．

Answer 1

【答案】3．

【解析】

先以C為原點，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，由題意知0≤t≤6，求得t＝0及t＝6時M的坐標，得到直線M1M2的解析式為y＝﹣2x+8．過點M2作M2N⊥x軸于點N，則M2N＝6，M1N＝3，M1M2＝3，線段PQ中點M所經過的路徑長為3個單位長度．

以C為原點，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系：

依題意，可知0≤t≤6，當t＝0時，點M1的坐標為（4，0）；

當t＝6時，點M2的坐標為（1，6），

設直線M1M2的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直線M1M2的解析式為y＝﹣2x+8．

設動點運動的時間為t秒，

則有點Q（0，2t），P（8﹣t，0），

∴在運動過程中，線段PQ中點M3的坐標為（，t），

把x＝代入y＝﹣2x+8，得y＝﹣2×+8＝t，

∴點M3在M1M2直線上，

過點M2作M2N⊥x軸于點N，則M2N＝6，M1N＝3，

∴M1M2＝3，

∴線段PQ中點M所經過的路徑長為3個單位長度．

故答案為：3．