Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中點，以CD為直徑的⊙Q分別交BC、BA于點F、E，點E位于點D下方，連接EF交CD于點G．

（1）如圖1，如果BC＝2，求DE的長；

（2）如圖2，設BC＝x，＝y，求y關于x的函數關系式及其定義域；

（3）如圖3，連接CE，如果CG＝CE，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）DE＝；（2）y＝（x＞1）．（3）BC＝1+．

【解析】

（1）如圖1中，連接CE．在Rt△CDE中，求出CD，CE即可解決問題．

（2）如圖2中，連接CE，設AC交⊙Q于K，連接FK，DF，DK．想辦法用x表示CD，DE，證明FK∥AB，推出，延長構建關系式即可解決問題．根據點E位于點D下方，確定x的取值范圍即可．

（3）如圖3中，連接FK．證明ED＝EC，由此構建方程即可解決問題．

（1）如圖1中，連接CE．

在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，

∴AB＝，

∵CD 是⊙Q的直徑，

∴∠CED＝90°，

∴CE⊥AB，

∵BD＝AD，

∴CD＝

∵ABCE＝BCAC，

∴CE＝，

在Rt△CDE中，DE＝．

（2）如圖2中，連接CE，設AC交⊙Q于K，連接FK，DF，DK．

∵∠FCK＝90°，

∴FK是⊙Q的直徑，

∴直線FK經過點Q，

∵CD是⊙Q的直徑，

∴∠CFD＝∠CKD＝90°，

∴DF⊥BC，DK⊥AC，

∵DC＝DB＝DA，

∴BF＝CF，CK＝AK，

∴FK∥AB，

∴，

∵BC＝x，AC＝1，

∴AB＝，

∴DC＝DB＝DA＝，

∵△ACE∽△ABC，

∴可得AE＝，

∴DE＝AD﹣AE＝，

∴，

，

∴y＝（x＞1）．

（3）如圖3中，連接FK．

∵CE＝CG，

∴∠CEG＝∠CGE，

∵∠FKC＝∠CEG，

∵FK∥AB，

∴∠FKC＝∠A，

∵DC＝DA，

∴∠A＝∠DCA，

∴∠A＝∠DCA＝∠CEG＝∠CGE，

∴∠CDA＝∠ECG，

∴EC＝DE，

由（2）可知：，

整理得：x2﹣2x﹣1＝0，

∴x＝1+或1﹣（舍棄），

∴BC＝1+．