Question

【題目】在正方形中，是邊上一點，點在射線上，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，.

（1）依題意補全圖1；

（2）連接，若點，，恰好在同一條直線上，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據要求畫出圖形即可；
（2）連接BD，如圖2，只要證明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解決問題；

（1）解：補全圖形如圖1：

（2）①證明：連接BD，如圖2，

∵線段AP繞點A順時針旋轉90°得到線段AQ，
∴AQ=AP，∠QAP=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠1=∠2．
∴△ADQ≌△ABP，
∴DQ=BP，∠Q=∠3，
∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA=90°，
∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，
∵在Rt△BPD中，DP2+BP2=BD2，
又∵DQ=BP，BD2=2AB2，
∴DP2+DQ2=2AB2．