Question

已知：有一個△ABC，且BC=2，AC=，AB=1；將它放置于平面直角坐標系中；使BC在橫軸上，頂點A在反比例函數y=的圖象上，試探求C點的坐標．

Answer 1

解：∵△ABC中，BC=2，AC=，AB=1，
∴∠A=90°，∠ABC=60°．

①當點A在第一象限時，如上圖，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點A在反比例函數y=上，
∴當y=時，x=2，
∴A（2，），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD-CD=2-=，
∴點C的坐標為（，0）；
②
當點A在第一象限時，如上圖，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點A在反比例函數y=上，
∴當y=時，x=2，∴A（2，），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=2+=，
∴點C的坐標為（ ，0）；
③
當點A在第三象限時，如上圖，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點A在反比例函數y=上，
∴當y=-時，x=-2，
∴A（-2，-），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD-CD=2-=，
∴點C的坐標為（-，0）；
④
當點A在第三象限時，如上圖，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=，AD=，
∵點A在反比例函數y=上，
∴當y=-時，x=-2，
∴A（-2，-），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=，
∴CD=，
∴OC=OD+CD=2+=，
∴點C的坐標為（-，0）．
綜上，可知點C的坐標為（，0）或（-，0）或（，0）或（-，0）．
分析：由于反比例函數的圖象是雙曲線，點A可能在第一象限，也可能在第三象限，又因為斜邊BC在x軸上，所以可能點B在點C的右邊，也可能點B在點C的左邊，故一共分四種情況．針對每一種情況，都可以運用三角函數的定義求出點C的坐標．
點評：本題考查反比例函數的綜合運用以及30°角的直角三角形的性質，本題的關鍵是看到C的位置有4種不同的情況．