Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,以A(3,0)為圓心,以5為半徑的圓與x軸相交于B. C,與y軸的負半軸相交于D,拋物線y=x+bx+c經過B. C. D三點。

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若動直線MN(MN∥x軸)從點D開始，以每秒1個長度單位的速度沿y軸的正方向移動，且與線段CD、y軸分別交于M、N兩點，動點P同時從點C出發，在線段OC上以每秒2個長度單位的速度向原點O運動，連接PM，設運動時間為t秒，若以P、C. M為頂點的三角形與△OCD相似，求實數t的值；

②當t為何值時, 的值最大，并求出最大值。

Answer 1

【答案】（1）y=xx4；（2）t=2或t=，②當t=2時取最大值2；

【解析】

（1）直接利用圓的性質得出B，C點坐標，進而利用交點式求出函數解析式；

（2）①直接利用若△PCM∽△OCD或△MCP∽△OCD，分別得出t的值求出答案即可；

②利用MN∥OC，則 ，進而求出關于t的關系式求出最值即可．

(1)∵A(3,0)為圓心,以5為半徑的圓與x軸相交于B. C,

∴B(2,0),C(8,0)，

代入拋物線y= (x+2)(x8)，

得y=xx4；

(2)①由題可得N(0,t4),P(82t,0)，

若△PCM∽△OCD，

則 ,即 ，

解得t=2；

若△MCP∽△OCD,則,即，

解得t= ，

即當t=2或t=時，以P、C. M為頂點的三角形與△OCD相似。

②∵MN∥OC，

，即MN=2t，

又∵OP=82t，

∴，

∴當t=2時取最大值2.