Question

【題目】如圖，若折疊矩形的一邊，使點落在邊的點處，已知折痕且．以為原點，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，拋物線經過點．

(1)求的值；

(2)點是線段上一動點，點在拋物線上，且始終滿足，在點運動過程中，能否使得？若能，求出所有符合條件的點的坐標；若不能，請說明理由；

(3)已知點是拋物線上一動點，點在的延長線上，且，若在軸上存在一點，使有最小值，求點的縱坐標的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點，；（3）點縱坐標的最大值為．

【解析】

（1）由折疊和矩形的性質可知：∠EDB=∠BCE=90°，可證△ABD∽△ODE，從而求c；

（2）由（1）中的相似三角形可求得DA、AB，進而求出F的坐標，得BF=DF.再利用直角三角形的性質可得MD=MB，從而推導出結論；

（3）設拋物線與x軸交于M、N兩點，過點D作x軸垂線交BC于點G.可求得DM=DN=DG，進而得出M、N為滿足條件的點Q.

解：（1）由，設，則，，∴．

由題意，得，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，∴，

∴．

∵，在中，由勾股定理，得，即，

解得．∴．

∵拋物線經過點，

∴．

（2）假設存在．

由（1）知，，∴，．

∴．

易求直線BE的解析式為．

設，作PG⊥x軸于點，軸于點H．

∵，，

∴．

① 圖1，若點在點左側時，

則，

，，

∴．

∵點在線段BE上．

∴．

解得（舍去）或．

∴．

② 圖2，若點在點右側時，

則，，．

∴．

∵點在線段BE上，

∴，

解得（舍去）或．

∴

綜上，存在點，，使得．

（3）∵，點在的延長線上，且，∴．

如圖3，當點在軸左側時，與軸的交點就是使得有最小值的點．

顯然，當直線與拋物線只有一個公共點時，點的縱坐標最大．

設直線的解析式為y=kx+b，則，

∴，∴．

令，

即，

∴，

解得（舍去），．

∴直線的解析式為．

∴點縱坐標的最大值為．

如圖4，當點在軸右側時，作點關于軸的對稱點，則．連接交軸于點，則點就是使得有最小值的點．

顯然，當直線與拋物線只有一個公共點時，點的縱坐標最大．設直線的解析式為y=kx+b，則．

∴，∴．

令，

即，

∴，

解得（舍去），．

∴直線的解析式為．

∴點的縱坐標的最大值為．

∵，∴，∴，

∴點縱坐標的最大值為．