Question

20．【問題提出】已知∠AOB=70°，∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BOD=3∠BOC（∠BOC＜45°），求∠BOC的度數．
【問題思考】聰明的小明用分類討論的方法解決．
（1）當射線OC在∠AOB的內部時，①若射線OD在∠AOC內部，如圖1，可求∠BOC的度數，解答過程如下：設∠BOC=α，∴∠BOD=3∠BOC=3α，∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=2α，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°，∴α=14°，∴∠BOC=14°
問：當射線OC在∠AOB的內部時，②若射線OD在∠AOB外部，如圖2，請你求出∠BOC的度數；
【問題延伸】（2）當射線OC在∠AOB的外部時，請你畫出圖形，并求∠BOC的度數．
【問題解決】綜上所述：∠BOC的度數分別是14°，30°，10°或42°．

Answer 1

分析 根據題意和小明的分析，可以得到符合要求的還有三種情況，然后針對存在的三種情況，畫出相應的圖形，然后進行計算，即可得到∠BOC的度數，從而可以解答本題．

解答 解：（1）②如下圖2所示，

設∠BOC=α，則∠BOD=3α，∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，
∵∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠AOD=$\frac{1}{3}$∠COD=$\frac{2}{3}α$，
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α$-\frac{2α}{3}$=$\frac{7α}{3}$=70°，
∴α=30°．
∴∠BOC=30°；
（2）當射線OC在∠AOB外部時，根據題意，此時射線OC靠近射線OB，
∵∠BOC＜45°，∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴射線OD的位置也只有兩種可能；
①若射線OD在∠AOB內部，如圖3所示，

∵∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，
∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=3α+4α=7α=70°，
∴α=10°，
∴∠BOC=10°；
②若射線OD在∠AOB外部，如圖4所示，

∵∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠AOD=$\frac{1}{3}$∠COD=$\frac{4}{3}$α，
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-$\frac{4}{3}α$=$\frac{5}{3}α$=70°，
∴α=42°，
∴∠BOC=42°；
由上可得，∠BOC的度數分別是14°，30°，10°，42°．
故答案為：14°，30°，10°或42°．

點評 本題考查角的計算，解題的關鍵是明確題意，利用數形結合和分類討論的數學思想解答問題．