Question

【題目】如圖，已知為斜邊BC上的高，點E為DA延長線上一點，連結，過點作于點F，交AB、AD于、兩點.

（1）證明：

（2）若，，求的長.

（3）若，且，且線段BF與EF的長是關于的一元二次方程的兩個實數根，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）DE＝8．（3）BC＝5．

【解析】

（1）判斷出△BDE∽△NDC即可證明，

（2）先證明△ADC∽△BDA得到，即AD2＝BDDC，再證明△EBD∽△CND，得到，故BDDC＝EDDN，AD2＝EDDN，結合，，故AD＝DN＋AN＝3，得到32＝DE，故可求解；

（3）先證明∠ACM＝∠FBM，由（2）可知∠E＝∠FCB，∠ABE＝∠E，AB＝AE

過點M作MG⊥AN于點G，根據MG∥BD得，由，得到，故，過點A作AH⊥EF于點H，再由AH∥FN，得，設EH＝8a，則FH＝3a，得到BF＝5a，EF＝11a，由根與系數關系列出方程組解得：a＝±，得到BF＝，再證明△ACN∽△BCM，得到，設AC＝3b，則BC＝5b，在Rt△ABC和 Rt△ACM中，求出MC＝b，再根據△ACM∽△FCB得，得到，即可求解BC．

（1）證明： ∵CF⊥BE,AD⊥CD，

∴∠EFN=∠NDC=90°，

又∠ENF=∠CND，

∴∠E=∠DCN，

又∠EDB=∠EDC=90°，

∴△BDE∽△NDC

∴

故

（2）解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，

∴∠ADC＝∠ADB＝90°，

∠DAC＝∠DBA，

∴△ADC∽△BDA，

∴，

∴AD2＝BDDC，

∵CF⊥BE，

∴∠FCB＋∠EBD＝90°，

∵∠E＋∠EBD＝90°，

∴∠E＝∠FCB，

∵∠NDC＝∠EDB＝90°，

∴△EBD∽△CND，

∴，

∴BDDC＝EDDN，

∴AD2＝EDDN，

∵，，

∴AD＝DN＋AN＝3，

∴32＝DE，

∴DE＝8．

（3）∵AM＝AN，

∴∠AMN＝∠ANM

∵∠AMN＋∠ACN＝90°，∠DNC＋∠NCD＝90°，

∴∠ACM＝∠NCD

∵∠BMF＋∠FBM＝90°，∠AMC＋∠ACM＝90°，

∴∠ACM＝∠FBM

由（2）可知∠E＝∠FCB，

∴∠ABE＝∠E，

∴AB＝AE

過點M作MG⊥AN于點G

由MG∥BD得，

∴，

∴，

∴，

過點A作AH⊥EF于點H，

由AH∥FN，

得，

設EH＝8a，則FH＝3a，

∵AE＝AB，

∴BH＝HE＝8a，

∴BF＝5a，EF＝11a，

由根與系數關系得，

解得：a＝±，

∵a＞0，a＝，

∴BF＝，

由∠ACM＝∠MCB，∠DAC＝∠DBA可知△ACN∽△BCM，

∴

設AC＝3b，則BC＝5b

在Rt△ABC中，有AB＝4b．

∴AM＝b．

在Rt△ACM中，有MC＝b

由△ACM∽△FCB得，∴，

∴BC＝5．