Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處．分別以OC，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，拋物線y=ax2+bx+c經過O，D，C三點．

（1）求AD的長及拋物線的解析式；

（2）一動點P從點E出發，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似？

（3）點N在拋物線對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AD=3，（2）當或時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似（3）存在符合條件的M、N點，它們的坐標為：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；

②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）

【解析】

解：（1）∵四邊形ABCO為矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10。

由折疊的性質得，△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD。

由勾股定理易得EO=6。∴AE=10﹣6=4。

設AD=x，則BD=CD=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3。

∴AD=3。

∵拋物線y=ax2+bx+c過點D（3，10），C（8，0），

∴，解得。∴拋物線的解析式為：。

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t。

當∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，

∴，即，解得。

當∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，

∴，即，解得。

∴當或時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似。

（3）存在符合條件的M、N點，它們的坐標為：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；

②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）。

（1）根據折疊圖形的軸對稱性，△CED≌△CBD，在Rt△CEO中求出OE的長，從而可得到AE的長；在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的長．進一步能確定D點坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式。

（2）由于∠DEC=90°，首先能確定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在這兩種情況下，分別利用相似三角形的對應邊成比例求出對應的t的值。

（3）假設存在符合條件的M、N點，分兩種情況討論：

①EC為平行四邊形的對角線，由于拋物線的對稱軸經過EC中點，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點必為拋物線頂點。

由得拋物線頂點，則：M（4，）。

∵平行四邊形的對角線互相平分，∴線段MN必被EC中點（4，3）平分，則N（4，﹣）。

②EC為平行四邊形的邊，則ECMN，

設N（4，m），則M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；

將M（﹣4，m+6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣38，

此時 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；

將M（12，m﹣6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣26，

此時 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）。

綜上所述，存在符合條件的M、N點，它們的坐標為：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；

②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）。