Question

【題目】在菱形中，，點是射線上一動點，以為邊向右側作等邊，點的位置隨著點的位置變化而變化.

（1）如圖1，當點在菱形內部或邊上時，連接，與的數量關系是______，與的位置關系是______；

（2）當點在菱形外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由（選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理）；

（3）如圖4，當點在線段的延長線上時，連接，若，，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1），；（2）結論仍然成立，理由：略；（3）

【解析】

（1）連接AC，根據菱形的性質和等邊三角形的性質得出△BAP≌△CAE，再延長交于， 根據全等三角形的性質即可得出；
（2）結論仍然成立．證明方法同（1）；
（3）根據（2）可知△BAP≌△CAE，根據勾股定理分別求出AP和EC的長，即可解決問題；

（1）如圖1中，結論：，.

理由：連接.

∵四邊形是菱形，，

∴，都是等邊三角形，，

∴，，

∵是等邊三角形，

∴，，

∵，

∴，

，

∴，

∴，，

延長交于，

∵，

∴，

∴，即.

故答案為，.

（2）結論仍然成立.

理由：選圖2，連接交于，設交于.

∵四邊形是菱形，，

∴，都是等邊三角形，，

∴，，

∵是等邊三角形，

∴，，

∴.

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，即.

選圖3，連接交于，設交于.

∵四邊形ABCD是菱形，，

∴，都是等邊三角形，，

∵是等邊三角形，

∴，，

∴.

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，即.

（3），

由（2）可知，，

在菱形中，，

∴，

∵，，

在中，，

∴，

∵與是菱形的對角線，

∴，，

∴，

∴，，

∴，

在中，，

∴.