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據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五，后人概括為“勾三、股四、弦五”．

(1)觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過．計算(9－1)，(9＋1)與(25－1)，(25＋1)，并根據你發現的規律，分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式；

(2)根據(1)的規律，用n(n為奇數且n≥3)的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合理猜想他們之間兩種相等關系并對其中一種猜想加以證明；

(3)繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過，運用類似上述探索的方法，直接用m(m為偶數且m＞4)的代數式來表示他們的股和弦．

答案：
解析：

　　答案：(1)∵(9－1)＝4，(9＋1)＝5；(25－1)＝12，(25＋1)＝13；

　　∴7，24，25的股的算式為(49－1)＝(72－1)，弦的算式為(49＋1)＝(72＋1)．

　　(2)當n為奇數且n≥3時，勾、股、弦的代數式分別為n，(n2－1)，(n2＋1)．

　　例如關系式①，弦－股＝1；關系式②，勾2＋股2＝弦2．

　　證明關系式①：弦－股＝(n2＋1)－(n2－1)＝[(n2＋1)－(n2－1)]＝1；

　　或者證明關系式②：勾2＋股2＝n2＋[(n2－1)]2＝n4＋n2＋＝(n2＋1)2＝弦2，∴猜想得證．

　　(3)例如探索得，當m為偶數且m＞4時，股、弦的代數式分別為()2－1，()2＋1．

　　剖析：首先根據題目中已知的數據及數據關系分析，再分析其一般規律．


提示：

　　本題是一個勾股數的探索問題，能考查學生觀察、分析、類比、猜想和論證能力，第(2)、(3)小題都是開放題，考查學生的創新意識和創新能力．


練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括為“勾三、股四、弦五”．
（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過，
當勾=3時，股4=
1
2
（9-1），弦5=
1
2
（9+1）；
當勾=5時，股12=
1
2
（25-1），弦13=
1
2
（25+1）；
------
請你根據小明發現的規律用n（n為奇數且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股數的勾
 
、股
 
、弦
 
，并猜想他們之間的相等關系（寫二種）并對其中一種猜想加以證明；
（2）繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過．請你直接用m（m為偶數且m≥4）的代數式來表示他們的股和弦．

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科目：初中數學 來源： 題型：

據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括為“勾三，股四，弦五”．
（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過．計算
1
2
（9-1）、
1
2
（9+1）與
1
2
（25-1）、
1
2
（25+1），并根據你發現的規律，分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式；
（2）根據（1）的規律，用n（n為奇數且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間二種相等關系并對其中一種猜想加以證明；
（3）繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過．運用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數且m＞4）的代數式來表示他們的股和弦．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括為“勾三、股四、弦五”．
（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過，
當勾=3時，股4=數學公式（9-1），弦5=數學公式（9+1）；
當勾=5時，股12=數學公式（25-1），弦13=數學公式（25+1）；
------
請你根據小明發現的規律用n（n為奇數且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股數的勾______、股______、弦______，并猜想他們之間的相等關系（寫二種）并對其中一種猜想加以證明；
（2）繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過．請你直接用m（m為偶數且m≥4）的代數式來表示他們的股和弦．

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科目：初中數學 來源：2010年江蘇省泰州市泰興市五校聯考中考數學模擬試卷（解析版） 題型：解答題

（2004•三明）據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括為“勾三，股四，弦五”．
（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過．計算（9-1）、（9+1）與（25-1）、（25+1），并根據你發現的規律，分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式；
（2）根據（1）的規律，用n（n為奇數且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間二種相等關系并對其中一種猜想加以證明；
（3）繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過．運用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數且m＞4）的代數式來表示他們的股和弦．

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科目：初中數學 來源：2009年江蘇省常州市3月數學中考模擬卷（解析版） 題型：解答題

（2004•三明）據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括為“勾三，股四，弦五”．
（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過．計算（9-1）、（9+1）與（25-1）、（25+1），并根據你發現的規律，分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式；
（2）根據（1）的規律，用n（n為奇數且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間二種相等關系并對其中一種猜想加以證明；
（3）繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過．運用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數且m＞4）的代數式來表示他們的股和弦．

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