Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y＝﹣x2平移后經過點A（﹣1，0）、B（4，0），且平移后的拋物線與y軸交于點C（如圖）．

（1）求平移后的拋物線的表達式；

（2）如果點D在線段CB上，且CD＝，求∠CAD的正弦值；

（3）點E在y軸上且位于點C的上方，點P在直線BC上，點Q在平移后的拋物線上，如果四邊形ECPQ是菱形，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）sin∠CAD=；（3）點Q的坐標為（4-，5-2）．

【解析】

（1）根據平移前后a的值不變，用待定系數法求解即可；

（2）求出直線BC的解析式，確定點D的坐標，過點D作DM⊥AC，過點B作BN⊥AC，垂足分別為點M、N，運用面積法求出BN，再根據相似三角形的性質求出DM，根據直角三角函數求解即可；

（3）設點Q的坐標為（n，﹣n2+3n+4），如果四邊形ECPQ是菱形，則n＞0，PQ∥y軸，PQ＝PC，點P的坐標為（n，﹣n+4），根據鄰邊相等列出方程即可求解．

（1）設平移后的拋物線的解析式為y＝﹣x2+bx+c．

將A（﹣1，0）、B（4，0），代入得

解得：

所以，y＝﹣x2+3x+4．

（2）如圖1

∵y＝﹣x2+3x+4，∴點C的坐標為（0，4）．

設直線BC的解析式為y＝kx+4，將B（4，0），代入得kx+4＝0，解得k＝﹣1，

∴y＝﹣x+4．

設點D的坐標為（m，4﹣m）．

∵CD＝，∴2＝2m2，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），

∴點D的坐標為（1，3）．

過點D作DM⊥AC，過點B作BN⊥AC，垂足分別為點M、N．

∵，

∴，

∴．

∵DM∥BN，∴，

∴，

∴．

∴．

（3）如圖2

設點Q的坐標為（n，﹣n2+3n+4）．

如果四邊形ECPQ是菱形，則n＞0，PQ∥y軸，PQ＝PC，點P的坐標為（n，﹣n+4）．

∵PQ＝﹣n2+3n+4+n﹣4＝4n﹣n2，，

∴，解得或n＝0（舍）．

∴點Q的坐標為（，）．