Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，點P在邊AD上運動，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對角線AC交于A，E兩點．
（1）如圖2，當⊙P與邊CD相切于點F時，求AP的長；
（2）不難發現，當⊙P與邊CD相切時，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數也在變化，若公共點的個數為4，直接寫出相對應的AP的值的取值范圍____．

Answer 1

【答案】（1）；（2）＜AP＜或AP=5．

【解析】

（1）連接PF，則PF⊥CD，由AB⊥AC和四邊形ABCD是平行四邊形，得PF∥AC，可證明△DPF∽△DAC，列比例式可得AP的長；
（2）有兩種情況：①與邊AD、CD分別有兩個公共點；②⊙P過點A、C、D三點．

（1）如圖2所示，連接PF，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，

設AP=x，則DP=10-x，PF=x，
∵⊙P與邊CD相切于點F，
∴PF⊥CD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴

∴x= ；
（2）當⊙P與BC相切時，設切點為G，如圖3，

SABCD= ×6×8×2=10PG，
PG=，
①當⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點時，＜AP＜，即此時⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4，
②⊙P過點A、C、D三點．，如圖4，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4，
此時AP=5，
綜上所述，AP的值的取值范圍是：＜AP＜或AP=5．
故答案為：＜AP＜或AP=5．