Question

3．如圖，在y軸正半軸上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1（n為正整數），過點A₁，A₂，A₃，…，A_n分別作y軸的垂線，與反比例函數y=$\frac{2}{x}$（x＞0）交于P₁，P₂，P₃，…，P_n，連接P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_n-1P_n，過點P₂、P₃、…、P_n分別向P₁A₁、P₂A₂、…、P_n-1A_n-1作垂線段，構成一列三角形（見圖中陰影部分），記這一系列三角形的面積分別為S₁，S₂，S₃，…，S_n，則S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=1-$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 由OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1可知P₁點的坐標為（x₁，1），P₂點的坐標為（x₂，2），P₃點的坐標為（x₃，3）…P_n點的坐標為（x_n，n），把y=1，y=2，y=3…y=n代入反比例函數的解析式即可求出x₁、x₂、x₃…x_n的值，再由三角形的面積公式可得出S₁、S₂、S₃…S_n-1的值，故可得出結論．

解答 解：∵OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，
∴設P₁（x₁，1），P₂（x₂，2），P₃（x₃，3），…P_n（x_n，n），
∵P₁，P₂，P₃…Pn在反比例函數y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴x₁=2，x₂=1，x₃=$\frac{2}{3}$…x_n=$\frac{2}{n}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×（x₁-x₂）×1=$\frac{1}{2}$×1×（2-1）=1-$\frac{1}{2}$；
S₂=$\frac{1}{2}$×1×（x₂-x₃）=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；
S₃=$\frac{1}{2}$×1×（x₃-x₄）=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；
…
S_n-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{n-1}$-$\frac{2}{n}$），
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$．
故答案為：1-$\frac{1}{n}$．

點評 本題考查的是反比例函數綜合題，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．