Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，且CF＝CD，下列結論：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正確的個數為(　　)

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

設CF=x，則CD=4x， DF=3x，BE=EC=2x，進而可以證明△ABE∽△ECF，得到AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．進而可以證明△ABE∽△AEF，AE⊥EF，從而得到結論．

∵在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，且CF=CD，設CF=x，則CD=4x，∴DF=3x，BE=EC=2x，∴ AB：EC=BE：CF=2：1．∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．∵BE=CE，∴AB：AE=BE：EF，

∵∠FEC+∠EFC=90°，∠AEB=∠EFC，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEF=∠B=90°，∴△ABE∽△AEF，AE⊥EF，∴②③正確．

故選B．