Question

【題目】如圖所示，已知在平面直角坐標系中，拋物線（其中、為常數，且）與軸交于點，它的坐標是，與軸交于點，此拋物線頂點到軸的距離為4.

（1）求拋物線的表達式；

（2）求的正切值；

（3）如果點是拋物線上的一點，且，試直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點的坐標是或

【解析】

（1）先求得拋物線的對稱軸方程，然后再求得點C的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4，將點（-3，0）代入求得a的值即可；
（2）先求得A、B、C的坐標，然后依據兩點間的距離公式可得到BC、AB、AC的長，然后依據勾股定理的逆定理可證明∠ABC=90°，最后，依據銳角三角函數的定義求解即可；
（3）記拋物線與x軸的另一個交點為D．先求得D（1，0），然后再證明∠DBO=∠CAB，從而可證明∠CAO=ABD，故此當點P與點D重合時，∠ABP=∠CAO；當點P在AB的上時．過點P作PE∥AO，過點B作BF∥AO，則PE∥BF．先證明∠EPB=∠CAB，則tan∠EPB=，設BE=t，則PE=3t，P（-3t，3+t），將P（-3t，3+t）代入拋物線的解析式可求得t的值，從而可得到點P的坐標．

解：（1）拋物線的對稱軸為x=-=-1．
∵a＜0，
∴拋物線開口向下．
又∵拋物線與x軸有交點，
∴C在x軸的上方，
∴拋物線的頂點坐標為（-1，4）．
設拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4，將點（-3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3．
（2）將x=0代入拋物線的解析式得：y=3，
∴B（0，3）．
∵C（-1，4）、B（0，3）、A（-3，0），
∴BC=，AB=3，AC=2，
∴BC2+AB2=AC2，
∴∠ABC=90°．
∴．

即的正切值等于.
（3）如圖1所示：記拋物線與x軸的另一個交點為D．

∵點D與點A關于x=-1對稱，
∴D（1，0）．
∴tan∠DBO=．
又∵由（2）可知：tan∠CAB=．
∴∠DBO=∠CAB．
又∵OB=OA=3，
∴∠BAO=∠ABO．
∴∠CAO=∠ABD．
∴當點P與點D重合時，∠ABP=∠CAO，
∴P（1，0）．
如圖2所示：當點P在AB的上時．過點P作PE∥AO，過點B作BF∥AO，則PE∥BF．

∵BF∥AO，
∴∠BAO=∠FBA．
又∵∠CAO=∠ABP，
∴∠PBF=∠CAB．
又∵PE∥BF，
∴∠EPB=∠PBF，
∴∠EPB=∠CAB．
∴tan∠EPB=.
設BE=t，則PE=3t，P（-3t，3+t）．
將P（-3t，3+t）代入拋物線的解析式得：y=-x2-2x+3得：-9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．
∴P（-，）．
綜上所述，點P的坐標為P（1，0）或P（-，）．