Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于點，點，與軸相交于點，與拋物線的對稱軸相交于點.

（1）求該拋物線的表達式，并直接寫出點的坐標；

（2）過點作交拋物線于點，求點的坐標；

（3）在（2）的條件下，點在射線上，若與相似，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1），點；（2）點；（3）或

【解析】

（1）設拋物線的表達式為，將A、B、C三點坐標代入表達式，解出a、b、c的值即可得到拋物線表達式，同理采用待定系數法求出直線BC解析式，即可求出與對稱軸的交點坐標；

（2）過點E作EH⊥AB，垂足為H．先證∠EAH=∠ACO，則tan∠EAH=tan∠ACO=，設EH=t，則AH=2t，從而可得到E(-2+2t，t)，最后，將點E的坐標代入拋物線的解析式求解即可；

（3）先證明，再根據與相似分兩種情況討論，建立方程求出AF，利用三角函數即可求出F點的坐標.

（1）設拋物線的表達式為.

把，和代入得

，解得，

拋物線的表達式，

∴拋物線對稱軸為

設直線BC解析式為，

把和代入得

，解得

∴直線BC解析式為

當時，

點.

(2)如圖，過點E作EH⊥AB，垂足為H.

∵∠EAB+∠BAC=90°,∠BAC+∠ACO=90°，

∴∠EAH=∠ACO.

∴tan∠EAH=tan∠ACO=.

設EH=t，則AH=2t，

∴點E的坐標為(2+2t,t).

將(2+2t,t)代入拋物線的解析式得：12(2+2t)2(2+2t)4=t，

解得：t=或t=0(舍去)

∴

（3）如圖所示，

，

.

，

，

.

由（2）中tan∠EAH=tan∠ACO可知，

.

和相似，分兩種情況討論：

①，即，

，

∵tan∠EAB=

∴sin∠EAB=

∴F點的縱坐標=

點.

②，即，

，

同①可得F點縱坐標=

橫坐標=

點.

綜合①②，點或.