Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊的中點，且BE⊥AC于點F，連接DF，則下列結論正確的是_____．

①△ADC∽△CFB；②AD＝DF；③；④＝

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

易得∠ADC＝∠BCD＝90°及∠CAD＝∠BCF，從而可得△ADC∽△CFB；過點D作DM∥BE，交AC于N，交AB于M，可得DM垂直平分AF，則可得DF＝DA；設CE＝a，AD＝b，則CD＝2a由△ADC∽△CFB，可得，變形可判定③；根據E是CD邊的中點，可得比例式，再結合△CEF∽△ABF，可判斷④．

解：∵BE⊥AC，∠ADC＝∠BCD＝90°

∴∠BCF+∠ACD＝∠CAD+∠ACD

∴∠CAD＝∠BCF

∴△ADC∽△CFB

∴①正確；

如圖，過點D作DM∥BE，交AC于N，交AB于M

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形.

∴BM＝DE＝DC.

∴BM＝AM.

∴AN＝NF.

∵BE⊥AC，DM∥BE,

∴DN⊥AF.

∴DM垂直平分AF.

∴DF＝DA.

故②正確；

設CE＝a，AD＝b，則CD＝2a,

由△ADC∽△CFB，可得,

∴b＝a.

∴,

∴.

故③錯誤；

∵E是CD邊的中點

∴CE：AB＝1：2

又∵CE∥AB

∴△CEF∽△ABF

∴＝＝.

故④正確．

故答案為：①②④