Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，邊長為5，D為AC邊上一動點，連接BD，⊙O為△ABD的外接圓，過點A作AE∥BC交⊙O于E，連接DE，則△BDE的面積的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖所示：連接BE，

∵等邊三角形ABC，

∴∠1=∠C=60°，

∵AE∥BC，

∴∠CAE+∠C=180°，

∴∠CAE=∠1+∠2=180°﹣∠C=120°，

∴∠1=∠2=60°，

∵∠1=4；∠2=∠3（同弧圓周角相等），

∴∠3=∠4=∠1=∠2=60°，

∴△BDE是等邊三角形；

當⊙O的半徑最小時△BDE的面積的最小，當AB是⊙O的直徑時，⊙O的半徑最小= AB= ，

此時BD⊥AC，

∴DE=BD=ABsin∠1=5× = ，

∴△BDE的面積的最小值= × × × = ．

所以答案是 ．

【考點精析】掌握等邊三角形的性質和三角形的外接圓與外心是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心．