Question

【題目】如圖1，在直角坐標系中，直線l與x、y軸分別交于點A（4，0）、B（0，）兩點，∠BAO的角平分線交y軸于點D． 點C為直線l上一點，以AC為直徑的⊙G經過點D，且與x軸交于另一點E．

（1）求證：y軸是⊙G的切線；

（2）求出⊙G的半徑r，并直接寫出點C的坐標；

（3）如圖2，若點F為⊙G上的一點，連接AF，且滿足∠FEA=45°，請求出EF的長？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）5，（1，4）；（3）

【解析】

（1）連接GD通過證明GD⊥OB即可得到y軸是⊙G的切線；
（2）由GD⊥OB得到GD∥OA，則△BDG∽△BOA，通過對應邊的比即可求出半徑r，根據相似可求出AE、CE的長，即可得到C點坐標；
（3）由于∠FEA=45°，所以可以連接CE、CF構造直角三角形．由于要求的EF是弦，所以過點A作AH⊥EF，然后利用垂徑定理即可求出EF的長度．

解：（1）連接GD，

∵∠OAB的角平分線交y軸于點D，
∴∠GAD=∠DAO，
∵GD=GA，
∴∠GDA=∠GAD，
∴∠GDA=∠DAO，
∴GD∥OA，
∴∠BDG=∠BOA=90°，
∵GD為半徑，
∴y軸是⊙G的切線；
（2）∵A（4，0），B（0，），
∴OA=4，OB=，
在Rt△AOB中， ，
設半徑GD=r，則BG=，
由GD⊥OB得到GD∥OA，
∴△BDG∽△BOA，
∴，
∴，
解得；

因此直徑AC=10，

如圖，連接CE，

由于AC為直徑，因此CE⊥AE，

容易得到△ABO∽△ACE，

∴，

∴，

解得CE=4，AE=3，

∴OE=4-3=1，
∴C的坐標為（1，4）；
（3）過點A作AH⊥EF于H，連接CE、CF，

∵AC是直徑，
∴，∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠FEA=45°，且∠FEA所對的弧為弧AF，
∴∠FCA=∠FEA =45°，

∴△ACF為等腰直角三角形，
∴AF=CF，

∵，

∴AF=CF=，
設OE=m
∴AE=4-m
∵CE∥OB
∴△ACE∽△ABO
∴

∴CE=
在直角三角形ACE中，CE2+AE2=AC2，
∴

∴a=1或a=7（不合題意，舍去）
∴AE=3
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可得，AH=EH=，
∴在Rt△AEH中，FH2=AF2-AH2=

∴FH=，
∴EF=EH+FH=．