Question

【題目】在平面直角坐標系中，有兩點、，若滿足：當時，，；當時，，，則稱點為點的“友好點”.

（1）點的“友好點”的坐標是_______.

（2）點是直線上的一點，點是點的“友好點”.

①當點與點重合時，求點的坐標.

②當點與點不重合時，求線段的長度隨著的增大而減小時，的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①點的坐標是或；②當或時，的長度隨著的增大而減��；

【解析】

（1）直接利用“友好點”定義進行解題即可；（2）先利用 “友好點”定義求出B點坐標，A點又在直線上，得到；①當點和點重合，得．解出即可，②當點A和點B不重合， 且．所以對a分情況討論，1°、當或時，，所以當a≤時，的長度隨著的增大而減小，即取．2°當時，，當時，的長度隨著的增大而減小，即取． 綜上，當或時，的長度隨著的增大而減�。�

（1）點，4＞1，根據“友好點”定義，得到點的“友好點”的坐標是

（2）點是直線上的一點，

．

，根據友好點的定義，點的坐標為，

①當點和點重合，．

解得或．

當時，；當時，，

點的坐標是或．

②當點A和點B不重合，且．

當或時，．

當a≤時，的長度隨著的增大而減小，

取．

當時， ．

當時，的長度隨著的增大而減小，

取．

綜上，當或時，的長度隨著的增大而減�。�