Question

【題目】如圖，曲線是拋物線的一部分，與軸交于兩點，與軸交于點，且表達式，曲線與曲線關于直線對稱．

（1）求三點的坐標和曲線的表達式；

（2）過點作軸交曲線于點，連結，在曲線．上有一點，使得四邊形為箏形（如果一個四邊形的一條對角線被另一條對角線垂直平分，這樣的四邊形為箏形），請求出點的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）A(－1， 0)、B(3， 0)、C(0， )；（x≥3）；（2）．

【解析】

（1）當時，解得x=-1或3；當x=0時，，從而求出點A、B、C的坐標，利用對稱性求出點A和點B關于直線x=3的對稱點，利用待定系數法即可求出的表達式；

（2）利用對稱性求出點D的坐標，根據平面直角坐標系中兩點之間的距離公式即可求出AC＝DC＝2，從而得出點C在AD的垂直平分線上，過點A、M分別作x軸的垂線，與直線CD分別交于點G、H，那么∠ADG＝∠CMH，根據銳角三角函數求出∠ADC，設M，列出方程即可求出結論．

解：（1）由，

當時，解得x=-1或3；當x=0時，；

∴A(－1， 0)、B(3， 0)、C(0， )．

∵A(－1， 0)、B(3， 0) 關于直線x＝3的對稱點為A′(7， 0)、B(3， 0)，

∴拋物線y2的表達式為：（x≥3）．

（2）由CD//x軸，可知C、D關于拋物線y1的對稱軸x＝1對稱，

所以D(2，)．

由A(－1， 0)、C(0，)、D(2，)，

∴AC=，CD=2

∴AC＝DC＝2．

∴點C在AD的垂直平分線上．

如果四邊形ACDM的對角線互相垂直平分，那么四邊形ACDM是菱形，此時點M在x軸上，不在拋物線y2上．因此只存在MC垂直平分AD的情況．

如上圖，過點A、M分別作x軸的垂線，與直線CD分別交于點G、H，那么∠ADG＝∠CMH．

由于tan∠ADG＝＝，所以∠ADC＝30°．因此．

設M，那么．

整理，得x2－13x＋24＝0．解得．

所以點M的橫坐標為．